Question

11．已知正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)P是直線AD上一點(diǎn)，并且滿足3AP=AD，連接BP，作線段BP的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)Q，則線段CQ的長度為4或16．

Answer 1

分析 分為兩種情況：P在DA的延長線上時(shí)，P在AD的延長線上時(shí)，連接BE，根據(jù)線段垂直平分線求出PE=BE，根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)全等求出BQ=PE，即可得出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB=6，
∵3AP=AD，
∴AP=2，
分為兩種情況：①如圖1所示：P在DA的延長線上時(shí)，
連接BE，
∵QE是BP的垂直平分線，
∴PE=BE，
設(shè)PE=BE=x，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE²+AB²=BE²，
（x-2）²+6²=x²，
解得：x=10，
即PE=BE=10，
∵AD∥BC，
∴∠P=∠QBO，
在△PEO和△BQO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠OBQ}\\{PO=OB}\\{∠POE=∠BOQ}\end{array}\right.$
∴△PEO≌△BQO（ASA），
∴BQ=PE=10，
∵CD=6，
∴CQ=6+10=16；
②如圖2所示：P在AD的延長線上時(shí)，
此時(shí)CQ=10-6=4；
故答案為：4或16．

點(diǎn)評 本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．