Question

如圖，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA=．D為射線BA上的點（點D不與點B重合），作DE//BC交射線CA于點E.．

 (1) 若CE=x，BD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(2) 當分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；

(3) 當點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使△ABC與△DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵DE//BC，

∴  

∴，（）

 

（2）作BH⊥AC，垂足為點H，

∵cosA=，AB=5，∴AH==AC，∴BH垂直平分AC,

∴△ABC 為等腰三角形，AB=CB=5；

①當點D在BA邊上時（兩圓外切），如圖（1）

 

易知：O₁O₂ //BC，∴O₁O₂= AO₁，即：

∵，∴

∵DE//BC，∴DE=AD=5－y，∴.

∴

②當點D在BA延長線上時（兩圓內(nèi)切），如圖（2）、（３），

 

易知：O₁O₂ //BC，且O₁O₂= AO₁，

() 如圖（2）， ∵O₁O₂= AO₁，即：

∵，∴

∵DE//BC，∴DE=AD= y－5，∴.

∴

() 如圖（３），∵O₁O₂= AO₁，即：

∵，∴

∵DE//BC，∴DE=AD= y－5，∴.

∴

解二：（2）①當點D在BA邊上時（兩圓外切），如圖（1）

 

∵，∴

∵，∴

∵，∴ ，∴

②() 當點D在BA延長線上時（兩圓內(nèi)切），如圖（2）

 

∵，∴

∵ ，∴

∵，∴ ，∴

() 當點D在BA延長線上時（兩圓內(nèi)切），如圖（3）

∵∴，

∵  ，∴,

∵，∴ ，∴

 

（ 3）①當∠EDF=∠B時，如圖（4）

      易得：AD=DE=DF=DB，∴AF⊥BC,

      由cosA=cosC=，AC=3，

∴，∴.

 

②當∠DEF=∠B時，如圖（5）

    易得：，∴.

③當∠DFE=∠B時，如圖（6）

易得：四邊形DFCE為平行四邊形，

∴，∴，

∴，∴.…