Question

已知拋物線y=-x²+2mx+4．
（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；
（2）設(shè)拋物線與x軸相交于A、B兩點，且

1

OA2

+

1

OB2

=

1

2

，求拋物線的函數(shù)解析式，并畫出它的圖象；
（3）在（2）的拋物線上是否存在點P，使∠APB等于90°？如果不存在，請說明理由；如果存在，先找出點P的位置，然后再求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將二次函數(shù)的各系數(shù)代入頂點坐標公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）解答；
（2）設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x₁，0）（x₂，0），根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將

1

OA2

+

1

OB2

=

1

2

轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答；
（3）假設(shè)P點存在，設(shè)出P點坐標的參數(shù)表達式，根據(jù)勾股定理解出P點坐標，則可證明存在點P．

解答：解：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標公式，拋物線的頂點坐標為（m，4+m²）．

（2）設(shè)A、B兩點坐標為（x₁，0）（x₂，0），
因為

1

OA2

+

1

OB2

=

1

2

，
所以

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

1

2

，x1
配方得

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

1

2

，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，

(2m)2-2×(-4)

(-4)2

=

1

2

，則

4m-2×(-4)

16

=

1

2

，
解得m=0，
則函數(shù)解析式為y=-x²+4；
則其頂點坐標為（0，4），與x軸交點為（-2，0），（2，0）．如圖所示

（3）設(shè)P（x，-x²+4），
又因為A（-2，0），B（2，0），根據(jù)勾股定理（兩點間距離公式）
（x+2）²+（4-x²）²+（x-2）²+（4-x²）=4²，
解得x=±

3

或x=±2（與A、B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）．
P點坐標為（±

3

，1）．

點評：此題重點考查了一元二次方程和二次函數(shù)之間的關(guān)系．通過將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，尤其注意（3）為開放性題目，需要進行猜想和證明．