Question

如圖，在△ABC中，BC＞AC，點(diǎn)D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF．
（1）求證：．
（2）若四邊形BDFE的面積為8，求△AEF的面積．

Answer 1

解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，
∴F為AD的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴EF為△ABD的中位線，
∴，

（2）∵EF為△ABD的中位線，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∵S_△AEF：S_△ABD=1：4，
∴S_△AEF：S_{四邊形BDEF}=1：3，
∵四邊形BDFE的面積為8，
∴S_△AEF=．
分析：（1）由題意可推出△ADC為等腰三角形，CF為頂角的角平分線，所以也是底邊上的中線和高，因此F為AD的中點(diǎn)，所以EF為△ABD的中位線，即；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以推出△AEF∽△ABD，且S_△AEF：S_△ABD=1：4，所以S_△AEF：S_{四邊形BDEF}=1：3，即可求出△AEF的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的定義和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于求證EF為中位線，S_△AEF：S_△ABD=1：4．