Question

如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是劣弧

AB

上一動點(diǎn)，且點(diǎn)P不與A、B重合，PC與AB相交于點(diǎn)D．
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）求證：△CBD∽△CPB；
（3）若AB=2

3

，PD=1，求PC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）首先證明∠A=60°，進(jìn)而證明∠P=∠A=60°即可解決問題．
（2）證明∠DBC=∠P，∠BCD=∠PCB，即可解決問題．
（3）由△CBD∽△CPB，列出比例式，進(jìn)而得到即BC²=PC•CD；證明BC=AB=2

3

，CD=PC-PD=PC-1，代入該式得到PC²-PC-12=0，解方程即可解決問題．

解答：解：（1）∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠P=∠A=60°．
（2）∵∠DBC=∠P=60°，∠BCD=∠PCB，
∴△CBD∽△CPB．
（3）∵△CBD∽△CPB，
∴BC：PC=CD：BC，即BC²=PC•CD①；
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=2

3

，而CD=PC-PD=PC-1，
代入上式得：PC²-PC-12=0，
解得：PC=4或-3（舍去），
即PC的長=4．

點(diǎn)評：該題以圓為載體，以圓周角定理及其推論、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)考查為核心構(gòu)造而成；牢固掌握定理是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．