Question

26、如圖，平行四邊形ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F．
（1）若EF與AC垂直時，試說明四邊形AECF是菱形．
（2）當(dāng)EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形很容易證出△AOF≌△COF，則有OE=OF，進(jìn)而證得四邊形AFCE是平行四邊形，又因為EF⊥AC，故可根據(jù)對角形垂直平分的四邊形為菱形進(jìn)行判定．
（2）根據(jù)矩形的判定定理對角線相等且互相平分的四邊形是矩形即可得出答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四邊形AFEC是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFEC是菱形；

（2）當(dāng)EF=AC時，四邊形AECF是矩形，
∵EF過AC的中點O，EF=AC，
∴AO=CO，
∠DAC=∠ACF，
∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴EF=AC且互相平分，
∴四邊形AECF是矩形．

點評：此題主要考查了菱形的判定和矩形的性質(zhì)．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．