Question

15．如圖①，點(diǎn)O是邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，以O(shè)G、OE為邊作正方形OEFG，連接AG、DE．
（1）求證：AG=DE；
（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°）得到正方形OE′F′G′，如圖②．
①在旋轉(zhuǎn)過程中，這兩個(gè)正方形重合部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AG′=$\sqrt{3}$時(shí)，求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°，證出OG=OE，由SAS證明△AOG≌△DOE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）①證出∠DOM=∠CON，由ASA證明△ODM≌△OCN，得出△ODM的面積=△OCN的面積，因此四邊形OMDN的面積=△OCD的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，即可得出結(jié)果；
②由正方形的性質(zhì)和勾股定理得出AC=$\sqrt{2}$AB=2，OA=1，由勾股定理的逆定理得出△AOG′是直角三角形，求出∠AG′O=30°，得出∠AOG′=60°，即可得出結(jié)果；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，當(dāng)AG′=$\sqrt{3}$時(shí)，α=180°-30°=150°；即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°，
∴∠AOG=∠DOE=90°，
∵OG=2OD，OE=2OC，
∴OG=OE，
在△AOG和△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}&{\;}\\{∠AOG=∠DOE}&{\;}\\{OG=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOE（SAS），
∴AG=DE；
（2）解：①兩個(gè)正方形重合部分的面積不變化；理由如下：
如圖1所示：
∵∠AOD=∠G′OE′，
∴∠DOM=∠CON，
在△ODM和△OCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DOM=∠CON}&{\;}\\{OD=OC}&{\;}\\{∠ODA=∠OCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODM≌△OCN（ASA），
∴△ODM的面積=△OCN的面積，
∴四邊形OMDN的面積=△OCD的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，
即兩個(gè)正方形重合部分的面積不會(huì)發(fā)生變化；
②當(dāng)α為銳角時(shí)，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，OA=OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=2，
∴OA=1，
∴OG′=OG=2OD=2，
∵OA²+AG′²=1²+（$\sqrt{3}$）²=4，OG′²=4，
∴OA²+AG′²=OG′²，
∴△AOG′是直角三角形，∠OAG′=90°，
∵OA=$\frac{1}{2}$OG′，
∴∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴∠DOG′=90°-60°=30°，
即α=30°；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，當(dāng)AG′=$\sqrt{3}$時(shí)，α=180°-30°=150°；
綜上所述：α的度數(shù)為30°或150°．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．