Question

8．如圖，已知△ABC中，M是BC的中點，AD平分∠A，B在AD上的射影為E，EB交AM于N，求證：DN∥AB．

Answer 1

分析 注意到AE既平分∠BAC又垂直BE，延長BE、AC交于點F，根據(jù)三線合一可知△ABF是等腰三角形，從而E是BF中點，又由于M是BC中點，連接ME，則ME∥AF，于是$\frac{CM}{MD}=\frac{AE}{DE}$，對于△BDE和截線AMN由梅涅勞斯定理可得$\frac{BM}{MD}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，又CM=BM，從而$\frac{CM}{MD}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，于是$\frac{AE}{DE}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，即$\frac{EN}{NB}=\frac{DE}{DA}$，結(jié)論得證．

解答 證明：延長BE、AC交于點F，連接ME，如圖：

∵AE平分∠BAC，AE⊥BE，
∴BE=EF，
∵BM=CM，
∴EM∥AF，
∴$\frac{CM}{DM}=\frac{AE}{ED}$，
∴$\frac{BM}{DM}=\frac{AE}{ED}$，
對于△BDE和截線AMN，由梅涅勞斯定理可得$\frac{BM}{MD}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，
∴$\frac{AE}{DE}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，
∴$\frac{DA}{DE}=\frac{NB}{NE}$，
∴DN∥AB．
證畢．

點評 本題主要考查了梅涅勞斯定理的應(yīng)用、三線合一、中位線、平行線分線段成比例定理及其逆定理等知識點，難度較大，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)要求較高．根據(jù)線段AE的“三線合一”特性構(gòu)造等腰三角形是本題的突破口，后面的工作就是比例推導(dǎo)而已．