Question

14．如圖，正方形ABCD中，過D作DE∥AC，∠ACE=30°，CE交AD于點(diǎn)F，求證：AE=AF．

Answer 1

分析 連接BD，交AC于點(diǎn)O，作EM⊥AC于點(diǎn)M，由正方形的性質(zhì)得出AC⊥BD，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，∠DAC=45°，證出四邊形ODEM是矩形，得出EM=OD=$\frac{1}{2}$AC，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠AFE=75°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出EM=$\frac{1}{2}$CE，因此AC=EC，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠AEF的度數(shù)，得出∠AFE=∠AEF，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，作EM⊥AC于點(diǎn)M．如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，∠DAC=45°，
∵DE∥AC，
∴四邊形ODEM是矩形，
∴EM=OD=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠ACE=30°，
∴∠AFE=∠DAC+∠ACE=75°，EM=$\frac{1}{2}$CE，
∴AC=EC，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACE）=75°，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證出AC=EC是解決問題的關(guān)鍵．