Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，點(diǎn)B在⊙O上，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C，連結(jié)AB，AB=AC．
（1）直線AB與⊙O相切嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若PC=2

5

，求⊙O的半徑；
（3）線段BC的中點(diǎn)為M，當(dāng)⊙O的半徑為r為多少時(shí)，直線AM與⊙O相切．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）連接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥l得∠OAC=90°，則∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到直線AB是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據(jù)勾股定理，在Rt△ACP中有AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，在Rt△AOB中有AB²=PO²-OB²=5²-r²，
由于AC=AB，所以（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，然后解方程；
（3）作OT⊥AM于T，根據(jù)切線的判定當(dāng)OT=OB時(shí)，AM與⊙相切，則根據(jù)切線長(zhǎng)定理得∠OAB=∠OAT，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC，M為線段BC的中點(diǎn)得∠CAM=∠MAB，則∠CAM=2∠MAO，可計(jì)算出∠OAT=30°，于是得到OT=

1

2

OA=

5

2

，所以⊙O的半徑為r為

5

2

時(shí)，直線AM與⊙O相切．

解答：解：（1）直線AB與⊙O相切．理由如下：連接OB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°，
而∠APC=∠OPB=∠OBP，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴直線AB是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r；
在Rt△ACP中，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
在Rt△AOB中，AB²=OA²-OB²=5²-r²，
∵AC=AB，
∴（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，解得r=3，
即⊙O的半徑為3；
（3）作OT⊥AM于T，如圖，
當(dāng)OT=OB時(shí)，AM與⊙相切，
∴∠OAB=∠OAT，
∵AB=AC，M為線段BC的中點(diǎn)，
∴∠CAM=∠MAB，
而∠MAB=∠OAB+∠OAT，
∴∠CAM=2∠MAO，
∵∠CAO=90°
∴∠OAT=30°，
∴OT=

1

2

OA=

5

2

，
即⊙O的半徑為r為

5

2

時(shí)，直線AM與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理和勾股定理．