Question

10．感知：如圖①，在等邊三角形ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，若AE=CD，易知△ACE≌△CBD．
探究：若圖①中的點D、E分別在邊AC、BA的延長線上時，如圖②，△ACE與△CBD是否仍然全等？如果全等，請證明：如果不全等，請說明理由．
應用：若圖②中的等邊三角形ABC為等腰三角形，且AC=BC，點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，點D、E分別在AC、OA的延長線上，如圖③，若AE=CD，∠ACB=α，∠ADB=β，則∠ACE的大小為α-β（用含α和β的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 感知：由△ABC是等邊三角形，可得AC=CB，∠ACE=∠B=60°，又由BD=CE，即可證得△ACE≌△CBD；
探究：根據(jù)△ABC是等邊三角形，得到AC=CB，∠A=∠ACB=60°，由SAS證明△ACE≌△CBD．
應用：證明△ACE≌△CBD，得到∠AEC=∠CDB=β，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠CAB=∠ACE+∠AEC，即可解答．

解答 解：感知：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB，∠CAE=∠B=60°，
在△ACE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠CAE=∠B}\\{CE=BD}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△CBD（SAS）．
探究：△ACE與△CBD是否仍然全等，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠DCB，
在△ACE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠EAC=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△CBD．
應用：∵點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，
∴CO=AO，
∴∠ACB=∠CAO=α，
∵∠ACB+∠BCD=180°，∠EAC+∠CAO=180°，
∴∠EAC=∠DCB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，
在△EAC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠EAC=∠BCD}\\{AC=CB}\end{array}\right.$
∴△EAC≌△DCB，
∴∠AEC=∠CDB=β，
∵∠CAB=∠ACE+∠AEC，
∴∠ACE=∠CAB-∠AEC=α-β．
故答案為：α-β．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明△EAC≌△DCB．