Question

20．如圖，過(guò)⊙O上一點(diǎn)C作弦BA的垂線，交BA延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，連OA、CA，若AC平分∠OAD．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若圓的半徑為5，CD=4，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證出∠OCA=∠DAC，得出OC∥AD，再由已知條件得出CD⊥OC，即可得出CD為⊙O的切線；
（2）作OM⊥BA于M，則四邊形OCDM是矩形，∠OMA=90°，得出OM=CD=4，MD=OC=5，由勾股定理求出AM，即可得出AD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1所示：
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠OAD，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：作OM⊥BA于M，如圖2所示：
則四邊形OCDM是矩形，∠OMA=90°，
∴OM=CD=4，MD=OC=5，
∴AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AD=MD-AM=5-3=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理；通過(guò)作輔助線證明OC∥AD和四邊形OCDM是矩形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．