Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的四個頂點分別在邊AC、AB、CB上．
（1）求證：△ADE∽△GBF；
（2）求正方形DEFG的邊長；
（3）連結(jié)CE、CF分別交DG于點P、Q．求證：PQ²=PD•QG．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等即可證得∠ADE=∠B，然后根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可證得；
（2）設(shè)正方形DEFG的邊長是x，然后根據(jù)△CDG∽△CAB，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊上高的比等于相似比即可求解；
（3）根據(jù)△ADE∽△GBF，以及正方形的性質(zhì)可得EF²=AE•BF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到則

DP

AE

=

QG

BF

=

PQ

EF

，據(jù)此即可證得．

解答：證明：（1）∵直角△ADE中，∠A+∠ADE=90°，
又∵直角△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠AED=∠GFB，
∴△ADE∽△GBF；
（2）在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
則AB邊上的高是：

3×4

5

=2.4，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴設(shè)正方形DEFG的邊長是x，則

x

5

=

2.4-x

2.4

，
解得：x=

60

37

；
（3）∵△ADE∽△GBF，
∴

DE

AE

=

BF

GF

，則DE•GF=AE•BF，
又∵EF=DE=GF，
∴EF²=AE•BF，
∵DP∥AE，
∴△CDP∽△CAE，
∴

CD

AC

=

DP

AE

，
同理，

CD

AC

=

PQ

EF

=

QG

BF

，
則

DP

AE

=

QG

BF

=

PQ

EF

，
∴

DP•DQ

AE•BF

=

PQ•EF

EF2

，
∴PQ²=PD•QG．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，正確對比例式進(jìn)行變化是關(guān)鍵，題目難度較大．