Question

如圖，在平面坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且a，b滿足（a-4）²+

b+4

=0，點(diǎn)C，B關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為射線OA上A點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CM交直線AB于N，連BM，是否存在點(diǎn)M，使S△AMN=

3

2

S△AMB？若存在，求M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由a，b滿足（a-4）²+

b+4

=0，可求得a與b的值，即可求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，又由點(diǎn)C，B關(guān)于x軸對(duì)稱，即可求得C的坐標(biāo)；
（2）首先連接AC，易得AB=AC，MB=MC，可得∠MBA=∠MCA，繼而證得MN=MB=MC，然后過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于E，可證得△OCM≌△EMN，再設(shè)AM=x，NE=4+x，由S△AMN=

3

2

S△AMB，即可求得答案．

解答：解：（1）∵a，b滿足（a-4）²+

b+4

=0，
∴a-4=0，b+4=0，
解得：a=4，b=-4，
∴A（4，0），B（0，-4），
∵C，B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴C（0，4）；

（2）連接AC，
∵點(diǎn)C，B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴OM垂直平分BC，
∴AB=AC，MB=MC，
∴∠ACB=∠ABC，∠MAB=∠MBC，
∴∠MBA=∠MCA，
∵∠CAN=90゜=∠CMN，
∴∠MCA=∠ANM=∠MBA，
∴MN=MB=MC，
過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于E，
∵∠OMC+∠EMN=90°，∠OCM+∠OMC=90°，
∴∠OCM=∠EMN，
在△OCM和△EMN中，

∠OCM=∠EMN ∠COM=∠MEN=90° CM=MN

，
∴△OCM≌△EMN（AAS），
∴NE=OM，
設(shè)AM=x，NE=4+x，
∵S_△AMN：S_△AMB=3：2，
∴

x+4

4

=

3

2

，
解得：x=2，
∴OM=NE=6，
∴M（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及非負(fù)性．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．