【題目】如圖,正方形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,將BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°到BE所在的位置,BE與AD交于點F,分別連接DE、CE.
(1)求證:DE=DF;
(2)求證:AE∥BD;
(3)求tan∠ACE的值.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 (3)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)易得∠BDE=∠BED=75°,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ADB=45°,所以∠EDF=30°,在△DEF中,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠DFE=75°,所以∠DFE=∠DEF,即可得DE=DF ;(2)過點E作EG⊥BD于點G,易證四邊形AOGE是矩形,即可得結(jié)論;(3)設(shè)EG=x,則BE=BD=AC=2EG=2x, Rt△BEG中,由勾股定理可得BG= ,即可得OG=()x,再由AE=OG即可得結(jié)論.
試題解析:
(1)∵BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°至BE,
∴∠DBE=30°,BD=BE,
∴∠BDE=∠BED==75°
在正方形ABCD中,BD是對角線,
∴∠ADB=45°,
∴∠EDF=75°-45°=30°,
在△DEF中,∠DFE=180°-∠EDF-∠FED
=180°-30°-75°
=75°
∴∠DFE=∠DEF
∴DE=DF
(2)證明:過點E作EG⊥BD于點G,
∵∠DBE=30°
∴EG=
在正方形ABCD中,AC、BD是對角線,
∴AC=BD,OA= ,AC⊥BD
∴EG=OA且EG∥OA
∴四邊形AOGE是平行四邊形,
∴四邊形AOGE是矩形
∴AE∥BD
(3)設(shè)EG=x,
則BE=BD=AC=2EG=2x,
Rt△BEG中,BG= ,
∴OG=BG-BO=()x,
在矩形AOGE中,∠EAO=90°
AE=OG=()x
∴tan∠ACE=
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【題目】若正比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù),且k≠0)的函數(shù)值y隨著x的增大而增減小,則k的值可以是 .(寫出一個即可)
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【題目】計算: ①﹣20+(﹣14)﹣(﹣18)﹣13
②(﹣1)÷(﹣1 )×3
③6÷(﹣ + )
④﹣16﹣|﹣5|+2×(﹣ )2 .
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【題目】某電影院某日某場電影的票價是:成人票30元,學(xué)生票15元,滿50人可以購團體票(不足50人可按50人計算,票價打9折).某班在4位老師的帶領(lǐng)下去電影院看電影,學(xué)生人數(shù)為x人.
(1)如果學(xué)生人數(shù)不少于46分,該班買票至少應(yīng)付多少元?
(2)如果學(xué)生人數(shù)為42人,該班買票至少應(yīng)付多少元?
(3)用含x的代數(shù)式表示該班買票至少應(yīng)付多少元?
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【題目】如圖,P為平行四邊形ABCD的邊AD上的一點,E,F(xiàn)分別為PB,PC的中點,△PEF,△PDC,△PAB的面積分別為S,S1,S2.若S=3,則S1+S2的值為( )
A.24 B.12 C.6 D.3
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【題目】甲班有54人,乙班有48人,要使甲班人數(shù)是乙班的2倍,設(shè)從乙班調(diào)往甲班人數(shù)x,可列方程( )
A.54+x=2(48﹣x)
B.48+x=2(54﹣x)
C.54﹣x=2×48
D.48+x=2×54
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【題目】體育課上,老師測量跳遠(yuǎn)成績的依據(jù)是( )
A. 垂直的定義 B. 兩點之間線段最短
C. 垂線段最短 D. 兩點確定一條直線
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【題目】小亮的爸爸要把一根木條固定在墻面上至少要釘___顆釘子,其中蘊含的數(shù)學(xué)原理_____________.
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