Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，AE=AD，DE交對角線AC于點H，連接BH，有下列結論：
①△ACD≌△ACE，②△CDE為等邊三角形，③AC⊥ED，④

EH

BE

=2
其中結論正確的是（　�。�

A．①②

B．①②③

C．③④

D．①②③④

Answer 1

分析：根據等腰直角三角形的性質可得∠BAC=45°，再求出∠CAD=45°，從而得到∠BAC=∠CAD，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△ACE全等，判定①正確；根據全等三角形對應邊相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE為等邊三角形，判定②正確；在等腰直角△ADE中，根據等腰三角形三線合一的性質可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定③正確；設EH=a，表示出AH、CH的長，從而得到AC的長，再根據等腰直角三角形的性質求出AE、AB，然后表示出BE的長，然后相比即可得到

EH

BE

的值，判定④錯誤．

解答：解：∵∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，

AE=AD ∠BAC=∠CAD AC=AC

，
∴△ACD≌△ACE（SAS），故①正確；

∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE為等邊三角形，故②正確；

在△ADE中，∵AE=AD，∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故③正確；

設EH=a，則AH=EH=a，CH=

3

EH=

3

a，
∴AC=a+

3

a，
根據等腰直角三角形的性質，AE=

2

EH=

2

a，
AB=

2

2

AC=

2

2

（a+

3

a）=

2 a+ 6 a

2

，
∴BE=AB-AE=

2 a+ 6 a

2

-

2

a=

- 2 a+ 6 a

2

，
∴

EH

BE

=

- 2 a+ 6 a

2a

=

- 2 + 6

2

≠2，故④錯誤，
綜上所述，正確的結論有①②③．
故選B．

點評：本題考查了直角梯形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，綜合題但難度不大，熟記各性質是解題的關鍵．