Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=2∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的動點(diǎn)，以PB為邊作正方形PBGH，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)G或H恰好落在y軸上時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+4；；(2)F(﹣，﹣)或(，)；(3)P的橫坐標(biāo)為或2或0或2﹣

【解析】

(1)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求出解析式；將解析式化為頂點(diǎn)式即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)在線段DE上取點(diǎn)M，使MD=MB，此時(shí)∠EMB=2∠BDE，則∠FBA=∠EMB，即可求解；
(3)分點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)、點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)兩種情況，利用三角形全等求解即可．

(1)將點(diǎn)B(4，0)、C(0，4)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：

，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+x+4=-(x﹣1)2+；

點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(2)如圖1，在線段DE上取點(diǎn)M，使MD=MB，此時(shí)∠EMB=2∠BDE，

設(shè)ME=a，

由(1)得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)，

∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(4，0)、(0，4)，

∴BE= BO-EO=4-1=，

∴BM=MD=DE-ME=，

在Rt△BME中，ME2+BE2=BM2，即a2+32=(﹣a)2，解得：a=，

∴tan∠EMB==，

過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)F(m，﹣m2+m+4)，則FN=|﹣m2+m+4|，

∵∠FBA=2∠BDE，

∴∠FBA=∠EMB，

∴tan∠FBA=tan∠EMB=，

∵點(diǎn)B(4，0)、點(diǎn)E(1，0)，

∴BE=3，BN=4﹣m，

∴tan∠FBA=，

解得：m=4(舍去)或﹣或，

故點(diǎn)F(﹣，﹣)或(，)；

(3)①當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時(shí)，

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)H在y軸上時(shí)，如圖2，

∵∠MPB+∠CPH=90°，∠CPH+∠CHP=90°，

∴∠CHP=∠MPB，

∵∠BMP=∠PNH=90°，PH=BP，

∴△BMP≌△PNH(AAS)，

∴MB=PC，

設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則x=y=﹣x2+x+4，

解得：x=或x=(舍去負(fù)值)，

故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，

同理可得：△PRB≌△BOG(AAS)，

∴PR=OB=4，

即yP=4=﹣x2+x+4，

解得：x=2；

②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0或2﹣；

綜上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或2或0或2﹣．