Question

4．如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向△ABC外側(cè)作△ABD，使得∠ADB=120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CAE，則下列結(jié)論：
①D、A、E三點(diǎn)共線；②△CDE為等邊三角形；③DC平分∠BDA；④DC=DB+DA，其中正確的有（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 由△ABC為等邊三角形得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由∠ADB=120°得到∠1+∠2=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACB=60°，即旋轉(zhuǎn)角等于60°，CD=CE，∠CAE=∠CBD=∠1+60°，于是可計(jì)算出∠DAE=180°，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；由∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，根據(jù)等邊三角形的判定可對(duì)②進(jìn)行判斷；由△CDE為等邊三角形得∠4=60°，于是可得∠3=60°，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=DB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CD=DE，所以CD=DE=DA+AE=DA+BD，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠ADB=120°，
∴∠1+∠2=60°，
∵點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CAE，
∴∠ACB=60°，即旋轉(zhuǎn)角等于60°，CD=CE，∠CAE=∠CBD=∠1+∠CBA=∠1+60°，
∵∠CAE+∠BAC+∠2=∠1+60°+60°+∠2=180°，即∠DAE=180°，
∴D、A、E三點(diǎn)共線，所以①正確；
∵∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴△CDE為等邊三角形，所以②正確；
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠4=60°，
∴∠3=60°，
∴DC平分∠BDA，所以③正確；
∵△CDE為等邊三角形，
∴CD=DE，
而點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CAE，
∴AE=DB，
∴DE=DA+AE=DA+BD，
∴DC=DB+DA，所以④正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．