Question

如圖所示，線段AB與直線a所夾銳角為30°，AB=2

3

，在直線a上有一動點C，當△ABC為等腰三角形時，則線段AC的長為

2

3

或2或6

．

Answer 1

分析：由△ABC為等腰三角形時，分情況考慮：當AB=AC₁=AC₃=2

3

時，△ABC為等腰三角形；當AB=BC₂時，△ABC為等腰三角形，過B作BD垂直于直線a，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出BD的長，利用勾股定理求出AD的長，再由三線合一得到D為中點，即可求出AC₂的長；當AC₄=BC₄時，△ABC為等腰三角形，過C₄作C₄E⊥AB，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到AC₄=2EC₄，且E為AB的中點，求出AE的長，設C₄E=x，則有AC₄=2x，根據(jù)勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，確定出AC₄的長，綜上，得到所有滿足題意AC的長．

解答：解：當AB=AC₁=AC₃=2

3

時，△ABC為等腰三角形；
當AB=BC₂時，△ABC為等腰三角形，
過B作BD⊥a，可得∠BAD=∠BC₂D=30°，且AD=C₂D，
∴BD=

1

2

AB=

3

，
根據(jù)勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=3，
此時AC₂=2AD=6；
當AC₄=BC₄時，△ABC為等腰三角形，
過C₄作C₄E⊥AB，
故∠BAC₄=∠ABC₄=30°，AE=BE=

3

，
設C₄E=x，則有AC₄=2x，根據(jù)勾股定理得：x²+（

3

）²=（2x）²，
解得：x=1，
此時AC₄=2x=2，
綜上△ABC為等腰三角形時，AC的值為2

3

或2或6．
故答案為：2

3

或2或6．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結合及分類討論的思想，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．