Question

已知：如圖，點A、B分別在x軸、y軸上，以O(shè)A為直徑的⊙P交AB于點C(-

2

5

，

4

5

)，E為直徑OA上一動點（與點O、A不重合）．EF⊥AB于點F，交y軸于點G．設(shè)點E的橫坐標為x，△BGF的面積為y．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖，過C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則CM=

4

5

，CN=

2

5

，根據(jù)已知可以知道OM=CN，然后證明△ACM∽△COM，利用對應(yīng)邊成比例可以求出AM，然后求出A的坐標，再利用待定系數(shù)法可以求出直線AB的解析式；
（2）如圖依題意得到OE=-x，根據(jù)已知可以證明△GEO∽△GBF∽△ABO，然后利用它們對應(yīng)邊成比例，分別表示BF，GF，最后表示△BGF的面積．

解答：解：（1）如圖：
過C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則CM=

4

5

，CN=

2

5

．
根據(jù)相交弦定理，得CM²=OM•AM，
∵OM=CN，
∴AM=

8

5

，
∴OA=OM+AM=

2

5

+

8

5

=2．
∴A（-2，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A，C兩點坐標代入，得

-2k+b=0 - 2 5 k+b= 4 5

，
∴k=

1

2

，b=1，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+1；

（2）∵AB的解析式為y=

1

2

x+1，
∴當x=0時，y=1，
∴OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

1

2

，
而∠BAO+∠ABO=90°，∠FGB+∠FBG=90°，
∴∠BAO=∠FGB，
∴tan∠FGB=

1

2

，
∴sin∠FGB=

2 5

5

，cos∠FGB=

5

5

，而E（x，0），
∴OE=-x，
∴OG=-2x，
∴BG=1-

3

2

x，
∴根據(jù)三角函數(shù)可知，GF=BG•cos∠FGB，BF=BG•sin∠FGB，
∴y=

1

2

•BF•GF=（1-

3

2

x）²．

點評：把三角函數(shù)，待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)與判定都結(jié)合在一起，綜合性比較強．