Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+mx+n（m、n是常數(shù)）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過B、C兩點的直線的方程是y=x+2．
（1）求已知拋物線的解析式；
（2）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，求點C′的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上的動點，當(dāng)P在拋物線上從點B運動到點C，求P點縱坐標(biāo)的取值范圍．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（其中a≠0）的頂點坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

））

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意求得B與C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法將點B與C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得m與n的值，則可求得此拋物線的解析式；
（2）由（1）即可求得點A的坐標(biāo)，又由將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，即可求得點C′的坐標(biāo)；
（3）首先由拋物線的解析式求得頂點坐標(biāo)，又由B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-

1

2

＜0，即可知動點P運動過程經(jīng)過拋物線的頂點，即可求得P點縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（1）依題意B（-2，0）、C（0，2），
∵B、C在拋物線y=-x²+mx+n上，
∴

-(-2)2-2m+n=0 n=2

，
解得

m=-1 n=2

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+2；

（2）∵拋物線y=-x²+mx+n（m、n是常數(shù)）與x軸交于A、B兩點，
∴y=-x²-x+2=0，
解得：x=1或x=-2，
∴A的坐標(biāo)為（1，0），
∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，
∴C′（3，1）； 

（3）∵y=-x²-x+2=-（x+

1

2

）²+

9

4

，
∴此拋物線的頂點為：(-

1

2

 ， 

9

4

)，
∵B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-

1

2

＜0，
∴知動點P運動過程經(jīng)過拋物線的頂點，
又y_B=0，y_C=2，y_B＜y_C，
∴P點縱坐標(biāo)的取值范圍：0≤y_p≤

9

4

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與x軸的交點問題，以及三角形的旋轉(zhuǎn)問題等知識．此題綜合性很強，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．