Question

已知：如圖，直角△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC繞著頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0＜α＜180°）  得到△A′B′C，連接AA′，BB′，射線 BB′交AC于點M，交AA′于點N
（1）若AC=，α=2∠BAC，求線段BM的長
（2）求證：△AMN∽△BMC
（3）若3AN=4B′C，sin∠BAC=，請你確定旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)（精確到1°）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB=CB'，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，
而∠BAC=，∠ABC=90°，由此得到∠BCM=90°-，接著得到∠CBB'=∠BCM，所以BM=CM，又∵∠BAC=∠ABM，所以有AM=BM，∴這樣BM是Rt△ABC斜邊上的中線，由此即可求出BM的長度；
（2）首先由（1）得到，而，所以∠CAA'=∠CBB'，又∠AMN=∠BMC，然后利用相似三角形的判定定理即可證明△AMN∽△BMC；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得到，過點M畫MH⊥AB于H，而，由此得到，在Rt△BHM中，，由此即可確定旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
解答：解：（1）∵CB=CB'，
∴．
∵∠BAC=，∠ABC=90°，
∴∠BCM=90°-．
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴BM=．（3分）

（2）∵CB=CB'，
∴．
同理，
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）

（3）∵△AMN∽△BMC．
∴．（7分）
過點M畫MH⊥AB于H，
∵，
∴．
在Rt△BHM中，．（8分）
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）
點評：此題分別考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，綜合性比較強，要求學(xué)生對于這些基礎(chǔ)知識必須熟練掌握才能很好解決問題．