Question

10．如圖，在邊長為8cm的正方形ABCD中，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1cm的速度向點B運動；同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒3cm的速度向點C運動．當點Q到達C點時，點P同時停止，設運動時間為t秒．
（1）CQ的長為（8-3t）cm（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）連接DQ并把DQ沿DC翻折交BC延長線于點F，連接DP，DQ，PQ．
①若S_△ADP=S_△DFQ，求t的值；
②當DP⊥DF時，求t的值，并判斷△PDQ與△FDQ是否全等、∠PDQ是否等于45°？

Answer 1

分析 （1）可知BQ=3t，用CQ=BC-BQ可表示出CQ；
（2）①用t可分別表示出AP和CQ，從而可表示出△ADP和△DFQ的面積，可得到關于t的方程，可求得t的值；②由條件可知△DAP≌△DCQ，由AP=CQ可求得t的值，在Rt△BPQ中，可求得PQ的長，進一步可判斷△PDQ與△FDQ不全等．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=AD=CD=8cm，
當運動t秒時，則BQ=3tcm，
∴CQ=BC-BQ=（8-3t）cm，
故答案為：（8-3t）；
（2）①由題意可知CQ=CF，
∴QF=2CQ=2（8-3t）cm，且AP=tcm，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$AD•AP=4t，S_△DFQ=$\frac{1}{2}$QF•CD=8（8-3t），
∵S_△ADP=S_△DFQ，
∴4t=8（8-3t），
解得t=$\frac{16}{7}$；
②當DP⊥DF時，則有∠ADP+∠PDQ=∠PDQ+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，且∠DAP=∠DCF=90°，
在△DAP和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠DAP=∠DCF}\end{array}\right.$
∴△DAP≌△DCF（ASA），
∴CF=AP=CQ，
∴t=8-3t，解得t=2秒，
∴BP=BQ=6cm，QF=2CQ=4cm，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ=6$\sqrt{2}$，
在△PDQ和△FDQ中，PD=DF，DQ=DQ，又PQ≠QF，
∴△PDQ與△FDQ不全等，∠PDQ≠45°．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及知識點有正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等．對于運動型的問題，用時間t表示出相應的線段的長度，化動為靜是解題的關鍵．本題考查知識點較為基礎，難度不大．