Question

11．如圖，在△ABC中，AB＞AC，BC的垂直平分線DF交△ABC的外角平分線AD于點D，DE⊥AB于點E．求證：BE-AC=AE．

Answer 1

分析 過點D作DG⊥CA交CA的延長線于點G，連接DC，DB，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．

解答 證明：如圖所示，過點D作DG⊥CA交CA的延長線于點G，連接DC，DB．

∵AD是△ABC的外角平分線，DE⊥AB，DG⊥CA，
∴DE=DG．
∵DF垂直平分BC，
∴DC=DB，
在Rt△CDG與Rt△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△BDE，
∴CG=BE．
∵∠GAD=∠EAD，∠AGD=∠AED，AD=AD，
在△ADG與△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠EAD}\\{∠AGD=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADE，
∴AG=AE，
∴CG=AE+AC，
∴BE=AE+AC，
∴BE-AC=AE．

點評 此題主要考查了角平分線性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，熟練利用角平分線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．