Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動點P在線段AC上以5cm/s的速度從點A運動到點C，過點P作PD⊥AB于點D，將△APD繞PD的中點旋轉180°得到△A′DP，設點P的運動時間為x（s）．

（1）當點A′落在邊BC上時，求x的值；
（2）在動點P從點A運動到點C過程中，當x為何值時，△A′BC是以A′B為腰的等腰三角形；
（3）如圖（2），另有一動點Q與點P同時出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點B運動到點C，過點Q作QE⊥AB于點E，將△BQE繞QE的中點旋轉180°得到△B′EQ，連結A′B′，當直線A′B′與△ABC的一邊垂直時，求線段A′B′的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC= =4cm，

當點A′落在邊BC上時，由題意得，四邊形APA′D為平行四邊形，

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=∠C=90°，

∵∠A=∠A，

∴△APD∽△ABC，

∵AP=5x，

∴A′P=AD=4x，PC=4﹣5x，

∵∠A′PD=∠ADP，

∴A′P∥AB，

∴△A′PC∽△ABC，

∴ ，即 = ，

解得：x= ，

∴當點A′落在邊BC上時，x=

（2）

解：當A′B=BC時，（5﹣8x）2+（3x）2=32，

解得： ．

∵x≤ ，

∴ ；

當A′B=A′C時，x=

（3）

解：Ⅰ、當A′B′⊥AB時，如圖6，

∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，

∴x= ，

∴A′B′=QE﹣PD=x= ；

Ⅱ、當A′B′⊥BC時，如圖7，

∴B′E=5x，DE=5﹣7x，

∴cosB= ，

∴x= ，

∴A′B′=B′D﹣A′D= ；

Ⅲ、當A′B′⊥AC時，如圖8，

由（1）有，x= ，

∴A′B′=PA′sinA= ；

當A′B′⊥AB時，x= ，A′B′= ；

當A′B′⊥BC時，x= ，A′B′= ；

當A′B′⊥AC時，x= ，A′B′=

【解析】（1）根據勾股定理求出AC，證明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根據相似三角形的性質計算；（2）分A′B=BC、A′B=A′C兩種情況，根據等腰三角形的性質解答；（3）根據題意畫出圖形，根據銳角三角函數的概念計算．