Question

同學(xué)們可能都知道，對于一個整數(shù)，如果它的各個數(shù)位上的數(shù)字和可以被3整除，那么這個數(shù)就一定能夠被3整除，例如，一個四位數(shù)，千位上的數(shù)字是a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字為c，個為上的數(shù)字為d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個四位數(shù)就可以被3整除．
（1）你會證明這個結(jié)論嗎？寫出你的論證過程（以這個四位數(shù)為例即可）．
（2）通過本題的證明，你能總結(jié)出能被9整除的整數(shù)的特點嗎？不必證明．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意可設(shè)a+b+c+d=3e，則此四位數(shù)1000a+100b+10c+d可表示為999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得這個四位數(shù)就可以被3整除；
（2）根據(jù)（1）可知如果一個整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字和可以被9整除，那么這個數(shù)就一定能夠被9整除．

解答：證明：（1）設(shè)a+b+c+d=3e（e為整數(shù)），
這個四位數(shù)可以寫為：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，
∴

1000a+100b+10c+d

3

=333a+33b+3c+e，
∵333a+33b+3c+e是整數(shù)，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．

（2）如果一個整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字和可以被9整除，那么這個數(shù)就一定能夠被9整除．

點評：此題考查了數(shù)的整除性問題．注意四位數(shù)的表示方法與整體思想的應(yīng)用．