Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)A、B在x軸上，并且OA=OC=4OB，動點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）點(diǎn)Q為線段AC上一點(diǎn)，若四邊形OCPQ為平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用線段關(guān)系求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，即可以求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)線段AC特殊性質(zhì)，知道AC的垂直平分線與拋物線交點(diǎn)即為所求，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，OC∥PQ，且PQ平行于y軸，OC=PQ，利用線段相等列出方程即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵C （0，4），
∴OC=4．
∵OA=OC=4OB，
∴OA=4，OB=1，
∴A （4，0），B （-1，0），
設(shè)拋物線解析式：y=a（x+1）（x-4），
∴4=-4a，
∴a=-1．
∴y=-x²+3x+4．

（2）存在．
若△ACP是以AC為底的等腰三角形，則點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，
∵OA=OC，
∴AC的垂直平分線OP即為∠AOC的平分線，
設(shè)P（m，-m²+3m+4），
則可得：m=-m²+3m+4，
∴m₁=$\sqrt{5}$+1，m₂=1-$\sqrt{5}$
∴存在點(diǎn)P₁（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$+1），P₂（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），使得△ACP是以AC為底邊的等腰三角形．

（3）設(shè)l_AC：y=kx+b（k≠0），
∵過A （4，0），C （0，4），
∴l(xiāng)_AC：y=-x+4．
∵四邊形OCPQ為平行四邊形，
∴PQ∥OC，PQ=OC，
設(shè)P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4），
-t²+3t+4-（-t+4）=4．
∴t₁=t₂=2，
∴點(diǎn)Q（2，2）．

點(diǎn)評 題目考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過對拋物線解析式求解、等腰三角形應(yīng)用、平行四邊形性質(zhì)應(yīng)用的考查，對學(xué)生的知識綜合應(yīng)用有很大的提高，適合學(xué)生綜合性試題訓(xùn)練．