Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，DF垂直AE，交AB于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G．求證：
（1）OG=

1

2

BF；
（2）AE=DF．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）過點(diǎn)B作BP⊥BD交DF的延長線與點(diǎn)P，利用三角形的中位線，得出OG=

1

2

PB，再利用AE平分∠BAC，DF⊥AE，對頂角相等，以及三角形的內(nèi)角和，求得∠P=∠PFB，得出PB=BF得出最后結(jié)論；

（2）由正方形的性質(zhì)證得△ABE≌△DAF，得出結(jié)論即可．

解答：解：（1）如圖，

過點(diǎn)B作BP⊥BD交DF的延長線與點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD
∴PB∥AC，
∴DG=PG
∴OG=

1

2

PB
∵AE平分∠BAC，∠BAC=45，DF⊥AE
∴∠HAG=∠HAF=∠GDO=22.5°
∴∠AFH=∠AGH=∠P=67.5°
∴∠PFB=∠AFH=∠P=67.5°
∴PB=BF
∴OG=

1

2

BF．
（2）∵∠AEB=90°-∠EAB=67.5°，
∴∠AFD=∠AEB，
在△ABE和△DAF中，

∠ABE=∠DAF ∠AEB=∠AFD AB=AD

∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF．

點(diǎn)評：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意利用正方形中的特殊角度是解決問題的關(guān)鍵．