Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是AB上一動點，∠B=60°，AB=BC．
（1）若∠DEC=60°，判斷AD+AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）若∠EDC=60°，且AB=BC=4，求△ADE周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）過E作EF∥BC交AC于F點，證明△ABC和△AEF為等邊三角形，得出AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°，由ASA證明△ADE≌△FCE，得出AD=FC，即可得出結(jié)論；
（2）證明A、E、C、D四點共圓，得出∠BEC=∠ADC，由AAS證明△BCE≌△ACD，得出BE=AD，CE=CD，證出△CDE是等邊三角形，得出DE=CD，當(dāng)CD⊥AD時，CD最小=AC•sin60°=2$\sqrt{3}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：BC=AD+AE．理由如下：
過E作EF∥BC交AC于F點，如圖所示：
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∵EF∥BC，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠CFE=120°，
又∵AD∥BC，∠B=60°故∠BAD=120°，
又∵∠DEC=60°，∠AEF=60°，
∴∠AED=∠FEC，
在△ADE與△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CFE}\\{AE=EF}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA）．
∴AD=FC，
∴BC=AD+AE；
（2）解：由（1）得：△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠ACB=60°=∠EDC，
∴A、E、C、D四點共圓，
∴∠BEC=∠ADC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=60°=∠B，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAC}&{\;}\\{∠BEC=∠ADC}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD，CE=CD，
∴AE+AD=AE+BE=AB=4，△CDE是等邊三角形，
∴DE=CD，
當(dāng)CD⊥AD時，CD最小=AC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵△ADE周長=AD+AE+DE=AB+DE=AB+CD，
∴△ADE周長的最小值=4+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、四點共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、最值問題等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．