Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．

（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）①當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．

②當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD=DC（2）①當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形AFBD是菱形．

【解析】

試題分析：（1）由△AEF≌△DEC得出AF=DC，再根據(jù)已知條件即可證明．

（2）①當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．先證明四邊形AFBD是平行四邊形，再證明∠ADB=90°即可．

②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形AFBD是菱形．先證明四邊形AFBD是平行四邊形，再證明AD=BD即可．

（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=ED，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC，

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=DC．

（2）①當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．

證明：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴四邊形AFBD是矩形．

②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形AFBD是菱形．

證明：：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，BD=DC，

∴AD=BD=DC，

∴四邊形AFBD是菱形．