Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CA=AO，點(diǎn)D在⊙O上，∠ABD=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，⊙P與⊙O外切于點(diǎn)B，與直線(xiàn)CD相切于點(diǎn)E，設(shè)⊙O與⊙P的半徑分別為r與R，求

r

R

的值．

Answer 1

分析：（1）欲證：CD是⊙O的切線(xiàn)，只要轉(zhuǎn)化為證明∠ODC=90°即可；
（2）連接PE，易證PE=

1

2

CP，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，就可以得到．

解答：（1）證明：連接OD、DA；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
又∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

AB=OA（2分），
∵AC=AO，
∴∠ODC=90°，
∴CD切⊙O于點(diǎn)D．（4分）

（2）解：方法一：連接PE，
由（1）知∠DAB=60°；
∵AD=AC，
∴∠C=30°，（5分）
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴PE=

1

2

CP，（7分）
∵PE=BP=R，CA=AO=OB=r，
∴3r=R，即

r

R

=

1

3

．（8分）
方法二：連接PE，
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴OD∥PE，（6分）
∴

OD

EP

=

CO

CP

，
即

r

R

=

2r

3r+R

．
∴

r

R

=

1

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：證明切線(xiàn)可以證明直線(xiàn)經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)，且垂直于這條半徑．已知圓的切線(xiàn)可以連接圓心與切點(diǎn)．