Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與AC交于點F，過點D作⊙O的切線交AC于E．
（1）求證：AD²=AB•AE；
（2）若AD=2$\sqrt{5}$，AF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD²=AB•AE，即證明AD²=AC•AE，只要證明△ADE∽△ACD即可．
（2）易知OD=$\frac{1}{2}$AC，只要求出AC，先證明EF=EC，設(shè)EF=EC=x，根據(jù)DE²=EF•EA=AD²-AE²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，連接OD，DF．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵AO=OB，
∴OD∥AC，DO=$\frac{1}{2}$AC，
∵DE是切線，
∴OD⊥DE，∵OD∥AC，
∴DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵∠DAE=∠DAC，∠AED=∠ADC=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AE•AC=AB•AE．
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DFC=∠B，
∴∠C=∠DFC，
∴DF=DC，∵DE⊥CF，
∴EF=EC，設(shè)FE=EC=x，
∵DE是切線
∴DE²=EF•EA=AD²-AE²，
∴x（x+3）=（2$\sqrt{5}$）²-（x+3）²，
∴x=$\frac{11}{9}$，
∴AC=AF+FC=3+$\frac{22}{9}$=$\frac{49}{9}$，
由（1）可知OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{49}{18}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{49}{18}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，注意圓的切線垂直于過切點的半徑，屬于中考常考題型．