Question

12．已知：如圖所示，點P，Q分別代表兩個小區(qū)，直線l代表臨近小區(qū)的一條公路．點P到直線l的距離為$\frac{3}{2}\sqrt{2}$千米，兩點P、Q所在直線與直線l的夾角為45°，兩小區(qū)P、Q之間的距離為1千米．根據(jù)居民出行的需要，計劃在公路l上的某處設(shè)置一個公交車站．考慮到修路的費用問題，希望車站的位置到小區(qū)P和小區(qū)Q的距離之和m最短，請在公路l上畫出車站的位置（用點M表示，保留畫圖痕跡，不寫作法），并求出m的值．

Answer 1

分析 如圖，作點P關(guān)于直線l的對稱點P′，連接P′Q，交直線l與點M，點M即為所求，由已知條件得到∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，于是得到∠OPN=∠QNM=45°，求得ON=OP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，由對稱的性質(zhì)得P′N=PN=3，∠MNP′=45°，證得∠QNP′=90°，求出NQ=4，P′Q=5，根據(jù)PM=PM，即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，作點P關(guān)于直線l的對稱點P′，連接P′Q，交直線l與點M，點M即為所求，
如圖，由題意，∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴∠OPN=∠QNM=45°，
∴ON=OP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴PN=3，
由對稱的性質(zhì)得P′N=PN=3，∠MNP′=45°，
∴∠QNP′=90°，
∵PQ=1，
∴NQ=4，
∴P′Q=5，
∵PM=PM，
∴m=PM+QM=P′M+QM=P′Q=5．

點評 此題主要考查了垂直平分線的作法以及兩點之間線段最短的知識，解答此題的關(guān)鍵是熟知軸對稱的性質(zhì)以及線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等這一性質(zhì)．