Question

如圖，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內的一個動點．
（1）使∠APB=30°的點P有

 

個；
（2）若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標；
（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大的理由；若沒有，也請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題,三角形的外角性質,等邊三角形的性質,勾股定理,矩形的判定與性質,垂徑定理,圓周角定理,切線的性質

專題：綜合題,壓軸題,探究型

分析：（1）已知點A、點B是定點，要使∠APB=30°，只需點P在過點A、點B的圓上，且弧AB所對的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點P有無數(shù)個．
（2）結合（1）中的分析可知：當點P在y軸的正半軸上時，點P是（1）中的圓與y軸的交點，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標；當點P在y軸的負半軸上時，同理可求出符合條件的點P的坐標．
（3）由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角．要∠APB最大，只需構造過點A、點B且與y軸相切的圓，切點就是使得∠APB最大的點P，然后結合切線的性質、三角形外角的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題．

解答：解：（1）以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC，
以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點P₁、P₂．
在優(yōu)弧AP₁B上任取一點P，如圖1，
則∠APB=

1

2

∠ACB=

1

2

×60°=30°．
∴使∠APB=30°的點P有無數(shù)個．
故答案為：無數(shù)．

（2）①當點P在y軸的正半軸上時，
過點C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．
∵點A（1，0），點B（5，0），
∴OA=1，OB=5．
∴AB=4．
∵點C為圓心，CG⊥AB，
∴AG=BG=

1

2

AB=2．
∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∴CG=

AC2-AG2

=

42-22

=2

3

．
∴點C的坐標為（3，2

3

）．
過點C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP₂，如圖1，
∵點C的坐標為（3，2

3

），
∴CD=3，OD=2

3

．
∵P₁、P₂是⊙C與y軸的交點，
∴∠AP₁B=∠AP₂B=30°．
∵CP₂=CA=4，CD=3，
∴DP₂=

42-32

=

7

．
∵點C為圓心，CD⊥P₁P₂，
∴P₁D=P₂D=

7

．
∴P₂（0，2

3

-

7

）．P₁（0，2

3

+

7

）．
②當點P在y軸的負半軸上時，
同理可得：P₃（0，-2

3

-

7

）．P₄（0，-2

3

+

7

）．
綜上所述：滿足條件的點P的坐標有：
（0，2

3

-

7

）、（0，2

3

+

7

）、（0，-2

3

-

7

）、（0，-2

3

+

7

）．

（3）當過點A、B的⊙E與y軸相切于點P時，∠APB最大．
理由：可證：∠APB=∠AEH，當∠APB最大時，∠AEH最大． 由sin∠AEH=

2

AE

得：當AE最小即PE最小時，∠AEH最大．所以當圓與y軸相切時，∠APB最大．
①當點P在y軸的正半軸上時，
連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．
∵⊙E與y軸相切于點P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．
∴四邊形OPEH是矩形．
∴OP=EH，PE=OH=3．
∴EA=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，
∴EH=

EA2-AH2

=

32-22

=

5

∴OP=

5

∴P（0，

5

）．
②當點P在y軸的負半軸上時，
同理可得：P（0，-

5

）．
理由：
①若點P在y軸的正半軸上，
在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），
連接MA，MB，交⊙E于點N，連接NA，如圖2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若點P在y軸的負半軸上，
同理可證得：∠APB＞∠AMB．
綜上所述：當點P在y軸上移動時，∠APB有最大值，
此時點P的坐標為（0，

5

）和（0，-

5

）．

點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質、矩形的判定與性質，切線的性質、三角形外角性質等知識，綜合性強．同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度．構造輔助圓是解決本題關鍵．