Question

“福龍麗景”的居民籌集資金650元，計(jì)劃在樓前一塊上底5m、下底10m的梯形（如圖①）空地上種植花草，美化環(huán)境．
（1）試求△AED與△BEC的面積比；
（2）他們?cè)凇鰽ED和△BEC地帶上種康乃馨，單價(jià)為10元/m²，共花250元．若其余地帶（△ABE和△DCE）可種蘭花或茉莉花，單價(jià)分別為20元/m²、15元/m²，那么應(yīng)選擇種哪種花，剛好用完所籌集資金？
（3）若梯形ABCD為等腰梯形（如圖②），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點(diǎn)P，使得△APB≌△DPC，S_△APD=S_△BPC，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出△AED與△BEC相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答；
（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比求出點(diǎn)E到BC的距離等于到AD的距離的2倍，然后根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E到BC、AD的高，利用梯形的面積列式求出△ABE和△DCE的面積之和，用剩余資金除以三角形的面積之和求出所種花的單價(jià)，即可得解；
（3）根據(jù)等腰梯形的軸對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)P在圖形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸上，再根據(jù)AD和BC的長(zhǎng)度，點(diǎn)P到AD的距離等于到BC的距離的2倍，然后確定出點(diǎn)P的位置即可．

解答：解：（1）∵梯形ABCD的邊AD∥BC，
∴△AED∽△BEC，
∴△AED與△BEC的面積比=（AD：BC）²=（5：10）²=1：4；

（2）設(shè)△AED的邊AD上的高為h，
∵△AED∽△BEC，
∴△BEC的邊BC上的高為

10

5

h=2h，
∴

1

2

×5h+

1

2

×10×2h=250÷10，
解得h=2，
∴梯形的高為h+2h=2+2×2=6，
△ABE和△DCE的面積之和=

1

2

×（5+10）×6-250÷10=45-25=20m²，
∴所種花的單價(jià)=（650-250）÷20=20元/m²，
答：選擇種蘭花，剛好用完所籌集資金；

（3）∵△APB≌△DPC，
∴點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，
∵AD=5cm，BC=10cm，S_△APD=S_△BPC，
∴點(diǎn)P到AD的距離等于到BC的距離的2倍，
點(diǎn)P的位置如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，等腰梯形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì)，等腰梯形的對(duì)稱(chēng)性，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．