Question

3．己知：如圖，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)P．求證：
（1）PE=AB；
（2）PE²=BE•BP．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)知∠EBA=∠BEA=36°、△EAB≌△CBA，可得∠CAB=∠EBA=36°，進(jìn)而知∠EPA=∠EAP=72°，可得PE=AE=AB；
（2）由△AEB、△PAB都是底角為36°的等腰三角形知△AEB∽△BAC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例結(jié)合（1）中結(jié)論可得．

解答 證明：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=EA，∠EAB=108°，
∴∠EBA=∠BEA=36°
在△EAB和△CBA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{EA=BC}\\{∠EAB=∠CBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△CBA（SAS）
∴∠CAB=∠EBA=36°
∴∠EPA=∠EAP=72°
∴PE=AE=AB，
（2）∵△AEB、△PAB都是底角為36°的等腰三角形，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BP}{AB}$，
∴AB²=BE•BP，
又∵PE=AB，
∴PE²=AB²=BE•BP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正五邊形、等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)正多邊形性質(zhì)的掌握是關(guān)鍵，解答本題注意已經(jīng)證明的結(jié)論，對(duì)下一問題的作用．