Question

4．如圖，已知矩形ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE，PF分別交AC于點(diǎn)G，H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）在不添加輔助線的情況下，當(dāng)F與C不重合時(shí)，從圖中找出一對(duì)相似三角形，并說明理由；
（3）求證：PH-BE=1．

Answer 1

分析 （1）要求△PEF的邊長，需構(gòu)造直角三角形，那么就過P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的邊長；
（2）由矩形ABCD中，AD∥BC，易得△APH∽△CFH；
（3）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度數(shù)，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化簡即可．

解答 解：（1）過P作PQ⊥BC于Q．
∵矩形ABCD中，∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB=$\sqrt{3}$，
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中，PF=$\frac{PQ}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴△PEF的邊長為2；

（2）△APH∽△CFH．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴△APH∽△CFH；

（3）在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=30°，
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2，
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3，
∴FC=FH，
∵PH+FH=2，BE+FC=3-EF=3-2=1，
∴PH-BE=1．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．