Question

11．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°，則它的底角為70°，當(dāng)腰上的高與底邊的夾角為60°時，它的底角為30°，若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則它的底角為70°或20°．

Answer 1

分析 已知一腰上的高與底邊的夾角根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠C的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得；已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角，據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠A的度數(shù)，然后分兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得即可．

解答 解：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°時，如圖1，

∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠CDB=90°，∠CBD=20°，
∴在直角△BDC中，∠C=90°-20°=70°，
∴∠C=∠ABC=70°；
當(dāng)腰上的高與底邊的夾角為60°時，如圖2，

∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠CBD=60°，
∴在直角△CBD中，∠C=90°-60°=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．　
當(dāng)?shù)妊�三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°時，分兩種情況：
①如圖1，∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，
∴在直角△ABD中，∠A=90°-50°=40°，
∴∠C=∠ABC=$\frac{180°-40°}{2}$=70°；
②如圖2，∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD=90°-50°=40°，
又∵∠BAD=∠ABC+∠C，∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×40°=20°．　
故答案為：70°；30°；70°或20°．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類討論思想的運用是解答本題的關(guān)鍵．