Question

6．如圖，在直角坐標系中，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）是一次函數y=kx+b與反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m≠0）圖象的兩個交點，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）根據圖象，直接寫出關于x的不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集；
（2）求一次函數與反比例函數的解析式；
（3）P是第二象限雙曲線上AB之間的一點，連接PA，PB，PC，PD，若△PCA和△PBD面積相等，求點P坐標．

Answer 1

分析 （1）觀察函數圖象得到當-4＜x＜-1時，一次函數圖象都在反比例函數圖象上方；
（2）將點AB坐標代入y=kx+b，得出k和b，再把點A或B坐標代入反比例函數y=$\frac{m}{x}$得出m，從而得出一次函數與反比例函數的解析式；
（3）根據點P在雙曲線上，設出點P坐標，再由△PCA和△PBD面積相等，得出關于a的等式，求得a的值，即可得出點P坐標．

解答 解：（1）由圖象得，當-4＜x＜-1時，一次函數圖象都在反比例函數圖象上方，
即不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集為-4＜x＜-1；
（2）設一次函數的解析式為y=kx+b，
y=kx+b的圖象過點（-4，$\frac{1}{2}$），（-1，2），則
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
反比例函數y=$\frac{m}{x}$圖象過點（-1，2），
m=-1×2=-2；
∴反比例函數的解析式為y=-$\frac{2}{x}$，
（3）設P（a，-$\frac{2}{a}$），
由△PCA和△PDB面積相等，得
$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（a+4）=$\frac{1}{2}$×|-1|×（2+$\frac{2}{a}$），
a=±2，
a=-2，
∴P點坐標是（-2，1）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式．也考查了待定系數法求函數解析式以及觀察函數圖象的能力．