Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是直線(xiàn)y=2x+1與反比例函數(shù)(x＞0)圖象的交點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．

(1)求k的值；

(2)如圖1，雙曲線(xiàn)(x＞0)上一點(diǎn)M，若S△AOM=4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖2所示，若已知反比例函數(shù)(x＞0)圖象上一點(diǎn)B(3，1)，點(diǎn)P是直線(xiàn)y=x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是反比例函數(shù)(x＞0)圖象上另一點(diǎn)，是否存在以P、A、 B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝3（2）M（3，1）或M（，9）（3）Q1（＋2，2），Q2（2，＋2），Q3（，）．

【解析】

（1）點(diǎn)A是直線(xiàn)y＝2x＋1的點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，代入y＝2×1＋1＝3，求得點(diǎn)A即可得到結(jié)果；

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)M（m，），過(guò)A作AE⊥x軸于E，過(guò)M作MF⊥x軸于F，根據(jù)題意得：S△AOM＝S梯形AEFM解方程即可得到結(jié)果；

（3）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后設(shè)P（m，m），分若PQ為平行四邊形的邊和若PQ為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)兩種情況分類(lèi)討論即可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A是直線(xiàn)y＝2x＋1的點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，

∴y＝2×1＋1＝3，

∴A（1，3），

∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，

∴k＝3；

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)M（m，），過(guò)A作AE⊥x軸于E，過(guò)M作MF⊥x軸于F，

當(dāng)M在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（m1）＝4，

解得：m＝3，m=-（負(fù)值舍去），

當(dāng)M在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（1m）＝4，

解得：m＝，m=-3（負(fù)值舍去），

綜上，m＝3或，

故M（3，1）或M（，9）；

（3）∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，

∵點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝x上，

∴設(shè)P（m，m）

，若PQ為平行四邊形的邊，

∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的橫坐標(biāo)小2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大2，

∴點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m＋2，m2）如圖2，

若點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m2，m＋2）如圖3，

把Q（m＋2，m2）代入反比例函數(shù)的解析式得：（m＋2）（m-2）=3

m＝±，

∵m＞0，

∴m＝，

∴Q1（＋2，2），

同理可得另一點(diǎn)Q2（2，＋2）；

②若PQ為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，如圖4，

∵A、B關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，

∴OP⊥AB

此時(shí)點(diǎn)Q在直線(xiàn)y＝x上，且為直線(xiàn)y＝x與雙曲線(xiàn)y＝的交點(diǎn)，

由解得或（舍去）

∴Q3（，）

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)，坐標(biāo)分別為：Q1（＋2，2），Q2（2，＋2），Q3（，）．