Question

3．在△ABC，點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，求證：
（1）當(dāng)PD=PE時，AB=AC；
（2）當(dāng)AB=AC時，PD=PE．

Answer 1

分析 （1）由HL證明Rt△BPD≌Rt△CPE，得出對應(yīng)角相等∠B=∠C，由等角對等邊即可得出AB=AC即可；
（2）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出∠BAP=∠CAP，再由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，
∴BP=CP，
∵PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，
∴∠PDB=∠PEC=90°，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=CP}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）∵AB=AC，點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，
∴PD=PE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理；熟練掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．