【題目】如圖1,ABCD為正方形,將正方形的邊CB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到CE,記∠BCE=α,連接BE,DE,過點C作CF⊥DE于F,交直線BE于H.
(1)當(dāng)α=60°時,如圖1,則∠BHC= ;
(2)當(dāng)45°<α<90°,如圖2,線段BH、EH、CH之間存在一種特定的數(shù)量關(guān)系,請你通過探究,寫出這個關(guān)系式: (不需證明);
(3)當(dāng)90°<α<180°,其它條件不變(如圖3),(2)中的關(guān)系式是否還成立?若成立,說明理由;若不成立,寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論,并簡要證明.
【答案】(1)45°;(2)BH+EH=CH;(3)不成立,BH﹣EH=CH.
【解析】試題分析:(1)作CG⊥BH于G,由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCE=α=60°,CB=CD=CE,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°,∠ECF=∠DCF=∠DCE,求出∠GCH=(∠BCE+∠DCE)=45°即可;
(2)作CG⊥BH于G,同(1)得:∠BHC=45°,△CGH是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出CH=GH,由等腰三角形的性質(zhì)得出BG=EG=BE,即可得出結(jié)論;
(3)作CG⊥BH于G,同(2)得:∠BHC=45°,△CGH是等腰直角三角形,CH=GH,BG=EG=BE,即可得出結(jié)論.
試題解析:解:(1)作CG⊥BH于G,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是正方形,∴CB=CD,∠BCD=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:CE=CB,∠BCE=α=60°,∴CD=CE,∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°.∵CF⊥DE,∴∠ECF=∠DCF=∠DCE,∴∠GCH=(∠BCE+∠DCE)=×90°=45°;故答案為:45°;
(2)BH+EH=CH。理由如下:
作CG⊥BH于G,如圖2所示:
同(1)得:∠BHC=45°,∴△CGH是等腰直角三角形,∴CH=GH.∵CB=CE,CG⊥BE,∴BG=EG=BE,∴BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=CH;
故答案為:BH+EH=CH;
(3)當(dāng)90°<α<180°,其它條件不變,(2)中的關(guān)系式不成立,BH﹣EH=CH;理由如下:
作CG⊥BH于G,如圖3所示:
同(2)得:∠BHC=45°,△CGH是等腰直角三角形,CH=GH,BG=EG=BE,∴BH﹣EH=BG+GH﹣EH=BG+EG﹣EH﹣EH=2GH=CH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,如果AB=5,AE=4,BC=8,有下列結(jié)論:
①DE=4;
②S△AED=S四邊形ABCD;
③DE平分∠ADC;
④∠AED=∠ADC.
其中正確結(jié)論的序號是_____(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)
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【題目】如圖,已知⊙O的半徑為5,直線l切⊙O于A,在直線l上取點B,AB=4.
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī),過點B作直線m⊥l,交⊙O于C、D(點D在點C的上方);(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.D,E分別為邊BC,AC上一點,將△ADE沿著直線AD翻折,點E落在點F處,如果DF⊥BC,△AEF是等邊三角形,那么AE=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,三角形的三個頂點都在格點上.
(1)請你以為原點,建立平面直角坐標(biāo)系,并寫出、兩點的坐標(biāo).
(2)若三角形內(nèi)部有一點,經(jīng)過平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為,且、、的對應(yīng)點分別為、、,請說明三角形是如何由三角形平移得到(沿網(wǎng)格線平移),并畫出三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店在節(jié)日期間開展優(yōu)惠促銷活動:購買原價超過500元的商品,超過500元的部分可以享受打折優(yōu)惠.若購買商品的實際付款金額y(單位:元)與商品原價x(單位:元)的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示,則超過500元的部分可以享受的優(yōu)惠是( )
A. 打六折B. 打七折C. 打八折D. 打九折
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若以一條線段為對角線作正方形,則稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”.例如,圖①中正方形ABCD即為線段BD的“對角線正方形”.如圖②,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3cm,BC=4cm,點P從點C出發(fā),沿折線CA﹣AB以5cm/s的速度運(yùn)動,當(dāng)點P與點B不重合時,作線段PB的“對角線正方形”,設(shè)點P的運(yùn)動時間為t(s),線段PB的“對角線正方形”的面積為S(cm2).
(1)如圖③,借助虛線的小正方形網(wǎng)格,畫出線段AB的“對角線正方形”.
(2)當(dāng)線段PB的“對角線正方形”有兩邊同時落在△ABC的邊上時,求t的值.
(3)當(dāng)點P沿折線CA﹣AB運(yùn)動時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)在整個運(yùn)動過程中,當(dāng)線段PB的“對角線正方形”至少有一個頂點落在∠A的平分線上時,直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,AB=AC,∠ABC =,D是BC邊上一點,以AD為邊作,使AE=AD,+=180°.
(1)直接寫出∠ADE的度數(shù)(用含的式子表示);
(2)以AB,AE為邊作平行四邊形ABFE,
①如圖2,若點F恰好落在DE上,求證:BD=CD;
②如圖3,若點F恰好落在BC上,求證:BD=CF.
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