Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在邊AB上點(diǎn)，CE的垂直平分線FP 分別交AD、CE、CB于點(diǎn)F、H、G，交AB的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：△EBC∽△EHP；
（2）設(shè)BE=x，BP=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)BG=

7

4

時(shí)，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）由于在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，由此得到∠PHE=∠CBE=90°，又∠BEC=∠HEP，由此即可證明△EBC∽△EHP；
（2）在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得到CE²=BE²+BC²=x²+64，根據(jù)（1）得到

BE

EH

=

CE

EP

，而EH=

1

2

CE，進(jìn)一步得到

1

2

CE2=BE•EP，由此即可得到等式

1

2

(x2+64)=x(x+y)，變形后即可得到函數(shù)解析式，結(jié)合已知條件可以確定定義域；
（3）根據(jù)（1）知道∠ECB=∠P，而∠EBC=∠GBP=90°，由此可以證明△EBC∽△GBP，接著利用相似三角形的性質(zhì)得到 GB•BC=BE•BP，接著得到

7

4

×8=x•

64-x2

2x

，解方程即可求解．

解答：（1）證明：∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，
∴∠PHE=∠CBE=90°（1分）
又∵∠BEC=∠HEP，
∴△EBC∽△EHP；

（2）解：在Rt△BCE中，CE²=BE²+BC²=x²+64．（1分）
∵△EBC∽△EHP，
∴

BE

EH

=

CE

EP

．（1分）
∴BE•EP=EH•EC．
∵EH=

1

2

CE．
∴

1

2

CE2=BE•EP．（1分）
∴

1

2

(x2+64)=x(x+y)，（1分）
∴函數(shù)解析式為y=

64-x2

2x

，（1分）
定義域?yàn)?＜x＜8．（1分）

（3）解：∵△EBC∽△EHP，
∴∠ECB=∠P，
∵∠EBC=∠GBP=90°．
∴△EBC∽△GBP．（1分）
∴

GB

BE

=

BP

BC

．（1分）
∴GB•BC=BE•BP．
∴

7

4

×8=x•

64-x2

2x

（1分）
∴x=±6（負(fù)值不符合題意，舍去），
∴BP=

7

3

．（1分）

點(diǎn)評：此題分別考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及勾股定理，有一定的綜合性，解題時(shí)要求學(xué)生分析問題、解決問題的能力比較強(qiáng)才能很好解決這類問題．