Question

19．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+x+c與x軸交于A，B的兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）．
（1）分別求出拋物線的對稱軸和點(diǎn)B、C、P的坐標(biāo)；
（2）畫出這條拋物線；
（3）利用圖象求一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+x+c=6的解．

Answer 1

分析 （1）先把A（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+x+c求出c=-$\frac{3}{2}$，得到拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，再解方程$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0可得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$）；然后把解析式配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；
（3）畫直線y=6，然后找出直線y=6與拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+x+c的交點(diǎn)的坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+x+c=6的解．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+x+c得$\frac{1}{2}$+1+c=0，解得c=-$\frac{3}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0，解得x₁=-3，x₂=1，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=y=-$\frac{3}{2}$，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$）；
因?yàn)閥=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，
所以拋物線的對稱軸為直線x=-1，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）；
（2）如圖，
（3）一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+x+c=6的解為x₁=-5，x₂=3．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決（3）的關(guān)鍵是找出直線y=6與拋物線的交點(diǎn)．