Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx-5（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-5，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S_△ABE=S_△ABC時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）當(dāng)S_△ABE=S_△ABC時(shí)，可知E點(diǎn)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點(diǎn)D，可求得ED和AD的長度，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b-5=0}\\{9a+3b-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-5；
（2）在y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-5中，令x=0可得y=-5，
∴C（0，-5），
∵S_△ABE=S_△ABC，且E點(diǎn)在x軸下方，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，
當(dāng)y=-5時(shí)，代入可得$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x=-5，解得x=-2或x=0（舍去），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-5）；
（3）假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），
如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點(diǎn)D，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=5$\sqrt{2}$，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=$\sqrt{2}$，
∴AD=AC-DC=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)∠BAP=∠CAE時(shí)，則△EDA∽△PQA，
∴$\frac{ED}{AD}$=$\frac{PQ}{AQ}$，即$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-5|}{5+m}$，
∴$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=$\frac{1}{4}$（5+m）或$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=-$\frac{1}{4}$（5+m），
當(dāng)$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=$\frac{1}{4}$（5+m）時(shí)，整理可得4m²+5m-75=0，解得m=$\frac{15}{4}$或m=-5（與A點(diǎn)重合，舍去），
當(dāng)$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=-$\frac{1}{4}$（5+m）時(shí)，整理可得4m²+11m-45=0，解得m=$\frac{9}{4}$或m=-5（與A點(diǎn)重合，舍去），
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)及分類討論等．在（3）中利用∠BAP=∠CAE構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．