Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx-5（a≠0）與x軸交于點A（-5，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當S_△ABE=S_△ABC時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點的坐標代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）當S_△ABE=S_△ABC時，可知E點和C點的縱坐標相同，可求得E點坐標；
（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點D，可求得ED和AD的長度，設出點P坐標，過P作PQ⊥x軸于點Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應邊可得到關(guān)于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）把A、B兩點坐標代入解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b-5=0}\\{9a+3b-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-5；
（2）在y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-5中，令x=0可得y=-5，
∴C（0，-5），
∵S_△ABE=S_△ABC，且E點在x軸下方，
∴E點縱坐標和C點縱坐標相同，
當y=-5時，代入可得$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x=-5，解得x=-2或x=0（舍去），
∴E點坐標為（-2，-5）；
（3）假設存在滿足條件的P點，其坐標為（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），
如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點D，過P作PQ⊥x軸于點Q，

則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=5$\sqrt{2}$，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=$\sqrt{2}$，
∴AD=AC-DC=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
當∠BAP=∠CAE時，則△EDA∽△PQA，
∴$\frac{ED}{AD}$=$\frac{PQ}{AQ}$，即$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-5|}{5+m}$，
∴$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=$\frac{1}{4}$（5+m）或$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=-$\frac{1}{4}$（5+m），
當$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=$\frac{1}{4}$（5+m）時，整理可得4m²+5m-75=0，解得m=$\frac{15}{4}$或m=-5（與A點重合，舍去），
當$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=-$\frac{1}{4}$（5+m）時，整理可得4m²+11m-45=0，解得m=$\frac{9}{4}$或m=-5（與A點重合，舍去），
∴存在滿足條件的點P，其橫坐標為$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用．涉及到的知識點有待定系數(shù)法、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)及分類討論等．在（3）中利用∠BAP=∠CAE構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，難度適中．