如圖,已知AB是⊙O直徑,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于點F,交BC于點G,過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P.
(1)求證:PC=PG;
(2)點C在劣弧AD上運動時,其他條件不變,若點G是BC的中點,試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;
(3)在滿足(2)的條件下,已知⊙O的半徑為5,若點O到BC的距離為數(shù)學(xué)公式時,求弦ED的長.

(1)證明:連結(jié)OC,如圖,
∵PC為⊙O的切線,
∴OC⊥PC,
∴∠OCG+∠PCG=90°,
∵ED⊥AB,
∴∠B+∠BGF=90°,
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCG,
∴∠PCG=∠BGF,
而∠BGF=∠PGC,
∴∠PGC=∠PCG,
∴PC=PG;

(2)解:CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為CG2=BO•BF.理由如下:
連結(jié)OG,如圖,
∵點G是BC的中點,
∴OG⊥BC,BG=CG,
∴∠OGB=90°,
∵∠OBG=∠GBF,
∴Rt△BOG∽Rt△BGF,
∴BG:BF=BO:BG,
∴BG2=BO•BF,
∴CG2=BO•BF;

(3)解:連結(jié)OE,如圖,
由(2)得BG⊥BC,
∴OG=,
在Rt△OBG中,OB=5,
∴BG==2
由(2)得BG2=BO•BF,
∴BF==4,
∴OF=1,
在Rt△OEF中,EF==2,
∵AB⊥ED,
∴EF=DF,
∴DE=2EF=4
分析:(1)連結(jié)OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC,則∠OCG+∠PCG=90°,由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°,而∠B=∠OCG,所以∠PCG=∠BGF,根據(jù)對頂角相等得∠BGF=∠PGC,
于是∠PGC=∠PCG,所以PC=PG;
(2)連結(jié)OG,由點G是BC的中點,根據(jù)垂徑定理的推論得OG⊥BC,BG=CG,易證得Rt△BOG∽Rt△BGF,則BG:BF=BO:BG,即BG2=BO•BF,把BG用CG代換得到CG2=BO•BF;
(3)解:連結(jié)OE,OG=OG=,在Rt△OBG中,利用勾股定理計算出BG=2,再利用BG2=BO•BF可計算出BF,從而得到OF=1,在Rt△OEF中,根據(jù)勾股定理計算出EF=2,由于AB⊥ED,根據(jù)垂徑定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4
點評:本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了垂徑定理以及推論、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,D為AB延長線上一點,DC=AC,∠ACD=120°,BD=10.
(1)判斷DC是否為⊙O的切線,并說明理由;
(2)求扇形BOC的面積.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,∠BAC的平分線交⊙O于點D,交⊙O的切線BE于點E,過點D作DF⊥AC,交AC的延長線于點F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若DF=3,DE=2
①求
BEAD
值;
②求圖中陰影部分的面積.

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(2013•泰安)如圖,已知AB是⊙O的直徑,AD切⊙O于點A,點C是
EB
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如圖,已知AB是圓O的直徑,∠DAB的平分線AC交圓O與點C,作CD⊥AD,垂足為點D,直線CD與AB的延長線交于點E.
(1)求證:直線CD為圓O的切線.
(2)當AB=2BE,DE=2
3
時,求AD的長.

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