Question

在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（，0），如下圖所示；拋物線經(jīng)過點B。

（1）求點B的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點B作BD軸，垂足為D

∵∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°

∴∠BCD＝∠CAO

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC

∴△BCD≌△ACO            

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2

∴點B的坐標為（－3，1）   

（2）拋物線經(jīng)過點B（－3，1），則得

解得，所以拋物線解析式為    

（3）假設(shè)存在P、Q兩點，使得△ACP是直角三角形：

①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；

則延長BC至點P₁，使得P₁C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP₁

過點P₁作P₁M軸

∵C P₁＝BC，∠MC P₁＝∠BCD，∠P₁MC＝∠BDC＝90°

∴△M P₁C≌△DBC

∴CM＝CD＝2，∴P₁M＝BD＝1，可求得點P₁（1，－1）

再證點P₁在拋物線上      

②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；

則過點A作AP₂⊥CA，且使得A P₂＝AC，得到等腰直角三角形△AC P₂

過點P₂作P₂N，同理可證△AP₂N≌△CAO

∴N P₂＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得點P₂（2，1）

再證點P₂在拋物線上      

當時，

當時，

所以，在拋物線上還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形。