Question

如圖，點p₁、P₂、P₃…P_n在函數y=

4

x

第一象限的圖象上，點A₁、A₂、A₃…A_n在x軸的正半軸上，且△OA₁P₁、△A₁A₂P₂、△A₂A₃P₃、…..△A_n-1A_nP_n是等腰直角三角形，點A_n坐標為

（4

n

，0）

．

Answer 1

分析：由于△P₁OA₁是等腰直角三角形，可知直線OP₁的解析式為y=x，將它與y=

4

x

聯立，求出方程組的解，得到點P₁的坐標，則A₁的橫坐標是P₁的橫坐標的兩倍，從而確定點A₁的坐標；由于△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，則A₁P₂∥OP₁，直線A₁P₂可看作是直線OP₁向右平移OA₁個單位長度得到的，因而得到直線A₁P₂的解析式，同樣，將它與y=

4

x

聯立，求出方程組的解，得到點P₂的坐標，則P₂的橫坐標是線段A₁A₂的中點，從而確定點A₂的坐標；依此類推，從而確定點A_n的坐標．

解答：解：分別過P₁、P₂、P₃作x軸的垂線，垂足為H₁，
易知H₁（2，0）是OA₁的中點，
∴A₁（4，0），
可得P₁的坐標為（2，2），
∴P₁O的解析式為：y=x，
∵P₁O∥A₁P₂，
∴A₁P₂的表達式一次項系數相等，
將A₁（4，0）代入y=x+b，
∴b=4，
∴A₁P₂的表達式是y=x-4，
與y=

4

x

（x＞0）聯立，解得P₂（2+2

2

，-2+2

2

）．
仿上，A₂（4

2

，0）．
P₃（2

2

+2

3

，-2

2

+2

3

），A₃（4

3

，0）．
依此類推，點A_n的坐標是（4

n

，0）．
故答案為：（4

n

，0）．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用，找出求P點坐標的規(guī)律，以這個規(guī)律為基礎求出P_n的橫坐標，進而求出A_n的橫坐標的值，從而可得出所求的結果．