Question

如圖，矩形ABCD，AB=2，BC=4，F(xiàn)為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且不和B、C重合，連接FA，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥FA交CD所在直線于E，將△FEC沿FE翻折到△FEG位置，使點(diǎn)G落到AD上，則BF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：綜合題

分析：作FH⊥AD于H，如圖，設(shè)BF=x，則CF=4-x，利用等角的余角相等得到∠1=∠3，則根據(jù)相似三角形的判定得到Rt△ABF∽R(shí)t△FCE，利用相似比得CE=

x(4-x)

2

，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得EG=CE=

x(4-x)

2

，F(xiàn)G=FC=4-x，∠FGE=∠C=90°，所以DE=DC-CE=2-

x(4-x)

2

，∠5+∠6=90°，然后證明Rt△FHG∽R(shí)t△GDE，利用相似比得到GD=x，在Rt△DGE中，根據(jù)勾股定理得[2-

x(4-x)

2

]²+x²=[

x(4-x)

2

]²，整理得3x²-8x+4=0，最后解一元二次方程即可．

解答：解：作FH⊥AD于H，如圖，設(shè)BF=x，則CF=4-x，
∵FE⊥FA，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△ABF∽R(shí)t△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

CE

，即

2

4-x

=

x

CE

，
∴CE=

x(4-x)

2

，
∵△FEC沿FE翻折到△FEG位置，使點(diǎn)G落到AD上，
∴EG=CE=

x(4-x)

2

，F(xiàn)G=FC=4-x，∠FGE=∠C=90°，
∴DE=DC-CE=2-

x(4-x)

2

，∠5+∠6=90°，
而∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠4，
∴Rt△FHG∽R(shí)t△GDE，
∴

FH

GD

=

FG

GE

，即

2

GD

=

4-x

x(4-x) 2

，
∴GD=x，
在Rt△DGE中，
∵DE²+DG²=GE²，
∴[2-

x(4-x)

2

]²+x²=[

x(4-x)

2

]²，
整理得3x²-8x+4=0，解得x₁=

2

3

，x₂=2，
即BF的長(zhǎng)為

2

3

或2．
故答案為

2

3

或2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．