Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點O，延長BC到E，使得CE=AD，連接DE．
（1）求證：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC，CE=AD，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∴AC=DE，

∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，

∴AC=BD，

∴BD=DE

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，

∵四邊形ACED是平行四邊形，

∴CE=AD=3，AC∥DE，

∵AC⊥BD，

∴BD⊥DE，

∵BD=DE，

∴S△BDE= BDDE= BD2= BEDF= （BC+CE）DF= （BC+AD）DF=S梯形ABCD=16，

∴BD=4 ，

∴BE= BD=8，

∴DF=BF=EF= BE=4，

∴CF=EF﹣CE=1，

∴由勾股定理得AB=CD= =

【解析】（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四邊形ACED是平行四邊形，即可證得AC=DE，又由等腰梯形的性質(zhì)，可得AC=BD，即可證得結(jié)論；（2）首先過點D作DF⊥BC于點F，可證得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD=16，可求得BD的長，繼而求得答案．